✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Méthode  

Pour lever une indétermination dans un quotient, il peut être judicieux de factoriser par le terme qui tend  «  le plus vite  »  vers l'infini au numérateur et le terme qui tend  «  le plus vite 
»  vers l'infini au dénominateur.  On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.

Énoncé 1  Cas d'une suite définie par une fraction rationnelle

Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}\right)\) .

Solution

\(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3n-5\right)=+\infty\)  et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n+4\right)=+\infty\)

On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant  \(n\) en facteur au numérateur et au dénominateur.

Pour tout entier naturel \(n \neq 0\) , on a :  \(\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{n\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)}{n\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)}\)
\(\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}\)

Passons maintenant aux calculs de limites.

\(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)=3\) et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)=2\) w

Donc par quotient \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}\right)=\displaystyle\frac{3}{2}\) .

Énoncé 2

Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{4n^2-5n+8}{6n-7}\right)\) .

Solution

Pour tout entier naturel \(n \neq 0\) , on a  \(\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=\displaystyle\frac{n^2\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)}{n\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)}\)

\(\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}\)

Passons maintenant aux calculs de limites.

\(\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty\) , \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)=4\)  et  \(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)=6\)  

Donc par quotient et produit
\(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}\right)=+\infty\) .